Leesfragment: Oneindigheid

20 december 2025, door Victor Gijsbers

Victor Gijsbers’ Oneindigheid. Een filosofische gids staat op de longlist van de Socratesbeker 2026, wordt getipt door collega Peter en de filosofieredactie van Trouw. Tijd voor een fragment!

Het oneindige is grenzeloos fascinerend. Als eindige wezens zullen we het oneindige nooit volledig kunnen vatten. Toch duikt het onderwerp telkens opnieuw op in de filosofie – we kunnen er kennelijk ook niet aan ontkomen. Filosoof Victor Gijsbers leidt de lezer langs de belangrijkste vragen over het oneindige in de wiskunde, de natuur, de werkelijkheid en het menselijk leven.

Via Aristoteles, Descartes, Nietzsche en Wittgenstein leren we hoe de mens het oneindige heeft proberen te temmen, of juist als God boven zich heeft gesteld. Aan het eind van de reis komen we uit bij Kant, die de eindige mens zag als maatgever van de werkelijkheid – maar een maatgever met een opdracht die hij nooit kan voltooien. Door na te denken over de oneindigheid zien we zowel de meest inspirerende als de meest tragische kant van het menszijn.

Victor Gijsbers (1982) studeerde natuurkunde en filosofie in Utrecht en is werkzaam als filosoof aan de universiteit Leiden. Eerder publiceerde hij bij Boom een vertaling van Wittgensteins Tractatus.

Inleiding

Tellen zonder einde

Het oneindige klinkt als een ver-van-je-bedshow die je hoogstens in esoterische geschriften zal vinden. Maar het kan zomaar opduiken, aan de keukentafel bijvoorbeeld. ‘Papa,’ vroegen mijn kinderen toen ze zo’n vijf jaar oud waren, ‘tot hoever kan jij tellen?’ Een logische vraag. Zelf hadden ze net geleerd om tot twintig te tellen, of tot honderd, maar wat er daarna kwam, dat wisten ze niet. Voor hen was tellen een proces waarbij je op een bepaald punt vastloopt. Dus waar loopt papa vast? Bij duizend? Of pas bij de mysterieuze getallen ‘miljoen’ en ‘miljard’?
Maar papa loopt niet vast. Voor elk getal geldt dat ik ook weet hoe het getal heet dat één groter is. Zelfs als de naam van, bijvoorbeeld, een één met vierentwintig nullen me even zou ontschieten – we hebben het nu eenmaal niet dagelijks over quadriljoenen – dan zou ik het ‘een één met vierentwintig nullen’ kunnen noemen. Geen probleem. En daarna komt het getal dat je krijgt door die laatste nul in een één te veranderen. En daarna in een twee. En daarna in een drie.
Welk getal je me ook geeft, ik kan je altijd vertellen welk getal erna komt. Ik kan eindeloos doortellen. En toch kan ik niet alle getallen tellen (want er zijn er altijd nog meer) en kan ik ook niet tot elk willekeurig getal tellen (want zelfs als mijn motivatie eindeloos zou zijn, is mijn leven toch veel te kort om die quadriljoen ooit te halen). Je zou kunnen zeggen: ik ken perfect de weg in het rijk der getallen, ook al heb ik het grootste deel nooit bezocht.
Hoe kan het eigenlijk dat ik nooit vastloop wanneer ik ga tellen? Hoe kan het dat elk getal een naam heeft, en dat ik, beperkt wezen dat ik ben, ze allemaal ken? Alle oneindig veel? Het is helemaal niet vanzelfsprekend dat ik de namen van dingen ken. Er zijn een slordige acht miljard mensen op aarde, maar toch ken ik van de overgrote meerderheid de naam niet. Of neem de zandkorrels op het strand bij Scheveningen. Die hebben niet eens namen! Stel dat we die korrels een voor een langs moesten gaan om ze een naam te geven: ‘Tillie, Fardau, Noah, Immanuel, …’ Een monnikenwerk waarvan de nutteloosheid alleen door de onuitvoerbaarheid overtroffen zou worden!
Wat maakt getallen anders dan zandkorrels? Ten eerste dat we voor de namen van getallen een systeem hebben. De eerste tien getallen schrijven we als 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Daarna maken we volgens een vast recept combinaties van deze symbolen: eerst van twee symbolen, 10, 11, 12, …; als we die allemaal hebben gehad van drie symbolen, 100, 101, 102, …; enzovoorts. Het systeem zit zo in elkaar dat het bij iedere naam duidelijk is wat de volgende naam is. We kunnen altijd doorgaan met namen genereren.
Toch zijn die eindeloze namen op zichzelf niet genoeg. Ik zou die ook voor zandkorrels kunnen gebruiken, en deze ‘0’, ‘1’, ‘2’, enzovoorts noemen. Maar dan zou ik nog steeds het monnikenwerk moeten doen; ik zou de korrels alsnog een voor een langs moeten gaan, aan moeten wijzen, en een naam moeten geven. ‘Deze bruinige korrel hier noem ik 62781. Die witte ernaast noem ik 62782.’ Niet te doen natuurlijk; en trouwens, niemand zou het resultaat kunnen onthouden.
Waarom lukt het me met de getallen dan wel, terwijl er daar nota bene veel meer van zijn (oneindig veel meer zelfs) dan van zandkorrels op het strand van Scheveningen? Het verschil is dit. De zandkorrels en de naamgeving hebben niets met elkaar te maken. Nadat ik een systeem heb bedacht om eindeloos veel namen te genereren, moet ik nog steeds de zandkorrels een voor een koppelen aan die namen. Maar de getallen hebben iets fundamenteels gemeen met hun namen. We zouden kunnen zeggen dat de vorm van de getallenreeks identiek is aan de vorm van hun naamgeving.
Die vorm, dat is de vorm van opeenvolging. Voor elke naam vertelt het systeem ons hoe we de daaropvolgende naam moeten maken. Na 145 komt 146, na 39349 komt 39350, enzovoorts. Ook voor de getallen geldt dat ze allemaal een opvolger hebben, namelijk het getal dat één groter is. Als we de namen aan de getallen willen koppelen, hoeven we dus niet bij elk getal een naam te kiezen. Nee, we hoeven alleen maar het kleinste getal (het getal dat niet volgt op een ander getal, omdat het is waar we beginnen met tellen) te koppelen aan de eerste naam (de naam die niet volgt op een andere naam, omdat het is waar we beginnen met het maken van namen). Die eerste naam is ‘0’, en zo noemen we dan ook het eerste getal. Vervolgens spreken we af dat elke volgende naam hoort bij het volgende getal. Zo wordt de naam 1 geplakt op de opvolger van 0, de naam 2 op de opvolger van 1, en, verderop in de reeks, de naam 39350 op de opvolger van 39349. We hoeven niet elk getal afzonderlijk een naam te geven, omdat we er door middel van een paar simpele regels voor kunnen zorgen dat bij elk getal precies één naam hoort, en bij elke naam precies één getal.
Dit is alleen maar mogelijk omdat de getallen geen van het tellen onafhankelijke dingen zijn. De getallen zijn niets anders dan het idee van tellen en opeenvolging. Het getal 39350 is niet een of andere mysterieuze entiteit die we ergens in het universum moeten opsporen, en waarvan we er dan tot onze grote schrik experimenteel achter zouden kunnen komen dat het eigenlijk de opvolger is van 12 en niet van 39349. Nee, 39350 is niets meer en niets minder dan datgene wat na 39349 komt. Dat is waarom onze methode van naamgeving voor de getallen werkt; en dat is ook waarom we zeker kunnen weten dat we nooit, echt nooit, bij een grootste getal zullen uitkomen. De getallen zijn het idee van een opeenvolging die nooit stopt.